どせいたんさき。

ナスダヨー

銀河の視線速度分布のモデル図をつくってみた

過去問を解いていて気になる問題が出てきたのでちょっと gnuplot と戯れてみた.

回転曲線(銀河の半径と回転速度のグラフ)が下の図で表されるような円盤銀河について,中心から 5 kpc のところで円盤と共に回転している観測者から見た視線速度分布を,銀河面上での 2 次元等速度線図として概念的に図示せよ.

この問題のめんどくさいところは "自分も回転しているところ" と円盤の速度分布が 1 kpc を境にして変化するところだろうか.とりあえず,距離とか角度とかもろもろを定義しておく.

昔懐かしい三角関数の公式なんぞを駆使すると求めたい視線速度(相対速度)は次の式で与えられる.

u(R,\ell) = \left(V(R)\frac{R_0}{R} - V_0\right)\sin\ell
あとは u が一定となるような曲線を求める.ここで,相対速度が V_0(=200 \mbox{ km/s}) の何倍になるかというパラメタ \gamma を使用する.まずは R \geq 1 \mbox{ kpc} の場合,V(R) = V_0 より,
\gamma = \left(\frac{R_0}{R} - 1\right)\sin\ell
R \leq 1 \mbox{ kpc} の場合,V(R) = AR \hspace{10px}(A=200 \mbox{ km/s/kpc}) より
\gamma = \left(\frac{A}{V_0}R_0 - 1 \right)\sin\ell

そんなわけで中心から 1 kpc 以内では視線方向さえ変わらなければ相対速度が変わらないことになる.ちなみに最初に作図したときはこの辺の式を間違えて色々と暴走した.暴走の結果はこんなかんじ.なんか変なビーム放出してる.


以上,もろもろを考慮に入れて作ったのが下の図.観測者はグラフの原点にいる.

あってる保証はないがまあそれらしい図が出てきたので満足.

なお,作図に用いたコマンドはあまりに汚いのであんまりアップしたくないのだけど,恥はかき捨てということで貼り付けておきます.誰か添削してください><

set parametric
set trange [-pi/2:pi/2]
R(c,t) = 5.0*abs(sin(t)/(sin(t)+sgn(t)*c))
Xp(t) = 5.0*cos(t) + sqrt(25.0*cos(t)**2 - 24)
Xm(t) = 5.0*cos(t) - sqrt(25.0*cos(t)**2 - 24)
t0(c,t) = asin(c/4.0)*sgn(t)
p(t) = 5.0*cos(t)
q(c,t) = 5.0**2 - (sin(t)/(sin(t)+c))**2*5.0**2
Ppc(c,t) = R(c,t) > 1.0 ? \
	(p(t) + sqrt(p(t)**2-q(sgn(t)*c,t)))*cos(t) : \
	(p(t0(c,t)) + sqrt(p(t0(c,t))**2-q(sgn(t)*c,t0(c,t))))*cos(t0(c,t)) + \
	(1.0-c/2.5)*cos(t0(c,t))*(t/t0(c,t)-1)
Pps(c,t) = R(c,t) > 1.0 ? \
	(p(t) + sqrt(p(t)**2-q(sgn(t)*c,t)))*sin(t) : \
	(p(t0(c,t)) + sqrt(p(t0(c,t))**2-q(sgn(t)*c,t0(c,t))))*sin(t0(c,t)) + \
	(1.0-c/2.5)*sin(t0(c,t))*(t/t0(c,t)-1)
Pmc(c,t) = R(c,t) > 1.0 ? \
	(p(t) - sqrt(p(t)**2-q(sgn(t)*c,t)))*cos(t) : \
	(p(t0(c,t)) - sqrt(p(t0(c,t))**2-q(sgn(t)*c,t0(c,t))))*cos(t0(c,t)) - \
	(1.0-c/2.5)*cos(t0(c,t))*(t/t0(c,t)-1)
Pms(c,t) = R(c,t) > 1.0 ? \
	(p(t) - sqrt(p(t)**2-q(sgn(t)*c,t)))*sin(t) : \
	(p(t0(c,t)) - sqrt(p(t0(c,t))**2-q(sgn(t)*c,t0(c,t))))*sin(t0(c,t)) - \
	(1.0-c/2.5)*sin(t0(c,t))*(t/t0(c,t)-1)
plot\
	Ppc(0.00,t) , Pps(0.00,t) notitle with lines lt 11, \
	Pmc(0.00,t) , Pms(0.00,t) notitle with lines lt 11, \
	t,t+15 title "gamma = 0.00" with lines lt 11, \
	Ppc(0.05,t) , Pps(0.05,t) notitle with dots lt 1, \
	Pmc(0.05,t) , Pms(0.05,t) notitle with dots lt 1, \
	t+1,t+15 title "0.05" with lines lt 1, \
	Ppc(0.15,t) , Pps(0.15,t) notitle with dots lt 2, \
	Pmc(0.15,t) , Pms(0.15,t) notitle with dots lt 2, \
	t+2,t+15 title "0.15" with lines lt 2, \
	Ppc(0.20,t) , Pps(0.20,t) notitle with dots lt 3, \
	Pmc(0.20,t) , Pms(0.20,t) notitle with dots lt 3, \
	t+3,t+15 title "0.20" with lines lt 3, \
	Ppc(0.30,t) , Pps(0.30,t) notitle with dots lt 4, \
	Pmc(0.30,t) , Pms(0.30,t) notitle with dots lt 4, \
	t+4,t+15 title "0.30" with lines lt 4, \
	Ppc(0.45,t) , Pps(0.45,t) notitle with dots lt 5, \
	Pmc(0.45,t) , Pms(0.45,t) notitle with dots lt 5, \
	t+5,t+15 title "0.45" with lines lt 5, \
	Ppc(0.60,t) , Pps(0.60,t) notitle with dots lt 6, \
	Pmc(0.60,t) , Pms(0.60,t) notitle with dots lt 6, \
	t+6,t+15 title "0.60" with lines lt 6, \
	Ppc(0.75,t) , Pps(0.75,t) notitle with dots lt 7, \
	Pmc(0.75,t) , Pms(0.75,t) notitle with dots lt 7, \
	t+7,t+15 title "0.75" with lines lt 7, \
	Xp(t)*cos(t) , Xp(t)*sin(t) notitle with lines lt 11, \
	Xm(t)*cos(t) , Xm(t)*sin(t) notitle with lines lt 11, \
	t+8,t+15 title "R = 1.0 kpc" with lines lt 11